MAT 216 Geometri ve Cebir

Bu ders haftada 4 saat teorik, 2 saat uygulama olarak işlenecektir. Teorik dersleri İpek Tuvay, uygulama derslerini Neslihan Girgin yapacaktır.

Ders saatleri:

(Teorik) Çarşamba 15:00-16:50, Perşembe 09:15-11:00
(Uygulama) Pazartesi 09:15-11:00

Duyuru:

17-18 Mayıs tarihlerinde ders yapılmayacaktır, bu derslerin telafisi 8 Mayıs ve 22 Mayıs tarihlerindeki uygulama derslerinde yapılacaktır.

Kitap:

"Groups and Symmetry", M. A. Armstrong, Springer Verlag, 1988.

Önemli Tarihler:

Birinci quiz: 13 Mart Pazartesi
Birinci ara sınav: 29 Mart Çarşamba
İkinci quiz: 10 Nisan Pazartesi
Üçüncü quiz: 24 Nisan Pazartesi
İkinci ara sınav: 3 Mayıs Çarşamba
1 Quiz ve 1 Arasınav Telafisi: 15 Mayıs Pazartesi
Final sınavı: Daha sonra açıklanacak

Puanlama:

Quizler: 10+10+10
Ara sınavlar: 20+20
Final: 30

Sınav çözümleri:

Final: final

Telafi vize ve quiz: telafi

İkinci vize: vize2

Üçüncü quiz: quiz3

İkinci quiz: quiz2

Birinci quiz: quiz1

Birinci vize: vize1

Derste yapılanlar:

1. hafta: Rn'de izometri tanımı ve örnekler, simetri kavramı, eşkenar üçgenin, karenin simetrileri, simetri tabloları
2. hafta: Grubun tanımı, temel özellikleri, örnekler, dihedral gruplar, altgruplar
3. hafta: Gruplarda elemanların dereceleri, üreteçler, devirli gruplar, permütasyon grupları, döngüler, permütasyon grubunun değişik üreteçleri
4. hafta: Permütasyonların işaretleri, alterne grup, izormorfizmalar
5. hafta: İzomorfizma örnekleri, temel özellikleri
6. hafta: Birinci ara sınav, Platonik cisimler ve döngüsel simetri grupları
7. hafta: Cayley Teoremi, Matris grupları
8. hafta: Direk çarpımlar, Lagrange Teoremi
9. hafta: Parçalanışlar, denklik bağıntısı, grupta koset ve eşlenik bağıntıları
10. hafta: Simetrik gruplarda eşlenik sınıfları, normal altgruplar
11. hafta: İkinci ara sınav, çözümleri, bölüm grupları
12. hafta: İzomorfizma teormleri, grup etkileri
14. hafta: Yörünge-Sabitleyen Teoremi, Cauchy Teoremi, Sylow Teoremleri ve uygulamaları

Alıştırmalar:

Kitaptan:
2.3, 2.6, 2.7 2.8
3.3, 3.6, 3.8
4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8,
5.1, 5.2, 5.6, 5.9, 5.10, 5.11
6.1, 6.2, 6.3, 6.5 , 6.8, 6.10, 6.12
7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.10
8.1, 8.3, 8.4, 8.6, 8.8, 8.9, 8.10
9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.7, 9.8, 9.10 10.2, 10.3, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.11, 10.12
11.3, 11.4, 11.6, 11.9
12.1, 12.3, 12.4, 12.7, 12.8
14.1, 14.1, 14.3, 14.4, 14.6, 14.11
15.1, 15.2, 15.4, 15.5, 15.6, 15.7, 15.13. 15.14
16.1, 16.2, 16.3, 16.4, 16.7, 16.8, 16.12
17.1, 17.5, 17.14
20.1, 20.2, 20.4, 20.6, 20.7, 20.10
Ayrıca:
1) G bir grup ve a,b ve x ise G'nin elemanları olsun. Eğer ax=bx ise a=b olması gerektiğini gösteriniz.
2) G bir grup olsun ve a,b G'nin öyle elemanları olsun ki ardışık üç n tam sayısı için (ab)n=an bn sağlansın. Bu durumda ab=ba olması gerektiğini gösteriniz.
3) Bir grupta x elemanının mertebesi n ise xm elemanının mertebesinin n/obeb (n,m) olması gerektiğini gösteriniz.
4) G bir grup ve Izo(G) ise G'den G'ye bütün izomorfizmaların kümesi olsun. Izo(G)'nin fonksiyonların bileşke işlemi altında bir grup olduğunu gösteriniz.
5) G bir grup, X ⊆ G olsun. O zaman CG(X)={g ∈ G : her x ∈ X için gx=xg} olarak tanımlanan CG(X) kümesinin G'nin altgrubu olduğunu gösteriniz. Bu altgruba X'in G'deki merkezleyicisi adı verilir.
6) G bir grup olsun. O zaman G'nin merkezi Z(G)={g ∈ G : her x ∈ G için gx=xg } olarak tanımlanır. Z(G)'nin G'nin bir altgrubu olduğunu gösteriniz.
7) Z'nin 0'dan farklı her altgrubunun Z'ye izomorfik olduğunu gösteriniz.
8) m ≤ n için Sn'nin <(12...m)> altgrubunun Zm'ye izomorfik olduğunu gösteriniz.
9) G ve H birbirine izomorfik gruplar ise Z(G)'nin de Z(H)'ye izomorfik olduğunu gösteriniz.
10) S15'te (12)(34)(56) ile aynı tipte kaç değişik eleman vardır?
11) G devirli ve mertebesi n olan bir grup ise, n'nin her m böleni için G'nin mertebesi m olan tek bir altgruba sahip olduğunu gösteriniz.
12) S10'da kaç tane 9'lu döngü vardır?
13) S10'da (123)(456789)'un merkezleyen altgrubu kaç elemanlıdır?
14) Bir G grubu için |G/Z(G)|'nin 15 olamayacağını gösteriniz.

Son güncelleme: 05.06.2017